Здравствуйте, в этой статье мы постараемся ответить на вопрос: «Сложение и вычитание смешанных дробей». Если у Вас нет времени на чтение или статья не полностью решает Вашу проблему, можете получить онлайн консультацию квалифицированного юриста в форме ниже.
В математике выделяют дроби правильные и неправильные. Правильные — те, у которых числитель меньше знаменателя. Например: 1/3, 2/5, 4/12. Но бывает и так, что числитель становится больше знаменателя. Если объяснять предметно, то взято больше частей пирога, чем было тех, на которые он поделен. Такое вполне возможно и в жизни, и в математике.
Алгоритм действий при делении двух дробей:
- Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
- Чтобы произвести деление дробей, нужно преобразовать вторую дробь, поменяв местами её числитель и знаменатель, а затем произвести умножение дробей.
- Умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби и знаменатель первой дроби на знаменатель второй.
- Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
- Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.
- Самая большая снежинка, согласно сообщениям ученых в диаметре достигла одной второй (половины) метра, а в толщине одной пятой метра или 20 сантиметров.
- Самый большой слиток золота в мире равен одной четвертой тонны, то есть 250 килограммов.
- 97/100 всей воды в мире, является соленой и не пригодной для использования в пищу,две сотых всей мировой влаги – ледники, её использование так же невозможно. Только одна сотая живительной влаги годится для употребления человеку.
- Наша планета на три четвертых состоит из жидкости, когда космонавты впервые увидели землю из открытого космоса, она показалась им голубым шаром. С тех пор Землю и называют «голубой планетой».
- Согласно заявлениям экологов,человеком, на земле уже уничтожено четыре пятых всех лесных массивов.
- Обычная блоха в прыжке преодолевает расстояние, превышающее её длину в 130 раз. Если бы блоха имела рост 1 м 80 см, то её прыжок составлял бы одну четвертую километра или 250 метров.
Приведение дробей к общему знаменателю
Любые две дроби можно привести к общему знаменателю. Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю (НОК) – минимальное число, которое делится на каждый знаменатель.
Например, для дробей 1/4 и 1/3 общий знаменатель общий знаменатель равен 12, для дробей 1/6 и 1/3 общий знаменатель будет 6).
Для приведения дроби к общему знаменателю нужно:
1. Найти общий знаменатель – НОК (для дробей 1/6 и 1/9 общий знаменатель будет равен 18);
2. Найти множитель для каждой дроби – разделить общий знаменатель на знаменатель исходной дроби (для дроби 1/6 множитель будет равен 3 (18:6=3), для дроби 1/9 – 2 (18:9=2)).
3. Умножить числитель дроби на множитель (для дроби 1/6 получаем 1*3/6*3=3/18, для дроби 1/9 получаем 2*1/2*9=2/18)
Что нужно знать о дробях?
1. Дробь — число нецелое, оно обозначает количество долей целого.
2. Дробь меньше целого.
3. Чем на большее число долей поделено целое, тем эти доли меньше и наоборот — чем долей меньше, тем они, соответственно, больше.
Для обозначения долей в математике используют понятие обыкновенная дробь. С ее помощью можно записать абсолютно любое необходимое количество долей.
Обыкновенная дробь представляет собой две части, именуемые числителем и знаменателем. Записываются они разделенными горизонтальной чертой либо наклонной вправо линией. Знаменатель пишется внизу либо справа от дробной черты, он показывает общее количество частей от целого, на которое оно было поделено. А числитель пишется вверху или слева от дробной черты и показывает, сколько долей целого сейчас взяли.
Вернемся к нашему пирогу. Очевидно, что разделить его реально на сколько угодно равных частей. В зависимости от того, на сколько частей его разделили, меняется и знаменатель дроби. У пирога, разделенного одной прямой линией на две части, знаменатель будет равен 2, у разделенного на три части — 3 и т. д. Числитель же, в свою очередь, показывает, сколько частей сейчас взято. Если взяли только одну часть из двух, то получится дробь 1/2, только две из трех — 2/3 и т. д.
Если сравниваются дроби с одинаковыми знаменателями, то очевидно, что большей будет та, числитель у которой больше.
Пример:
1/5 , так как знаменатели одинаковы, а в числителе 1 меньше 5.
Если сравниваются дроби с одинаковыми числителями, то большей будет та, знаменатель у которой меньше.
Пример:
1/2 > 1/8, так как числители одинаковы, а в знаменателе 8 больше 2.
Дроби же с разными знаменателями так просто не сравнишь. Нужно сперва определить их общий знаменатель и привести к нему обе дроби. Правила этой операции были приведены выше. Получим дроби, сравнить которые можно очень легко.
Пример:
Сравниваем дроби 2/5 и 1/10. Для этого приводим их к общему знаменателю — 10. Получаем 4/10 и 1/10. Теперь сравниваем дроби, уже имеющие одинаковые знаменатели: 4/10 > 1/10.
Есть один секрет, который нужно запомнить. Если одна из сравниваемых дробей неправильная, то она всегда больше правильной. Если подумать и вспомнить свойства дробей, то все становится понятно. Ведь неправильная дробь всегда будет больше единицы, тогда как правильная, наоборот, всегда будет меньше.
Разность смешанных дробей
Чтобы найти разность смешанных дробей, сперва отдельно вычитаем их целые части, затем – отдельно дробные. Полученные результаты складываем.
X a/b
– Y
c/d
= (X – Y) + (
a/b
–
c/d
)
Примечание: Если дробные части имеют разные знаменатели, сперва их приводим к наименьшему общему знаменателю, затем – вычитаем.
Сложение дробей с разными знаменателями
Как складывать дроби с разными знаменателями — для этого нужно найти наименьший общий знаменатель (далее — НОЗ), а затем воспользоваться предыдущим правилом. Вот, что делать:
1. Найдем наименьшее общее кратное (далее — НОК) для определения единого делителя.
Для этого записываем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.
НОК (15, 18) = 3 * 2 * 3 * 5 = 90
2. Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого НОК делим на каждый знаменатель:
Полученные числа записываем справа сверху над числителем.
3. Воспользуемся одним из основных свойств дробей: перемножим делимое и делитель на дополнительный множитель. После умножения делитель должен быть равен наименьшему общему кратному, которое мы ранее высчитывали. Затем можно перейти к сложению.
4. Проверим полученный результат:
- если делимое больше делителя, нужно преобразовать в смешанное число;
- если есть что сократить, нужно выполнить сокращение.
Как вычесть дроби, знаменатели которых одинаковые
Дроби — это те же числа, с которыми можно производить различные действия. Их отличие от целых чисел заключается в присутствии знаменателя. Именно поэтому при выполнении действий с дробями нужно изучить некоторые их особенности и правила. Наиболее простым случаем является вычитание обыкновенных дробей, знаменатели которых представлены в виде одинакового числа. Выполнить это действие не составит особого труда, если знать простое правило:
- Для того чтобы из одной дроби вычесть вторую, необходимо из числителя уменьшаемой дроби вычесть числитель вычитаемой дроби. Это число записываем в числитель разницы, а знаменатель оставляем тот же: k/m — b/m = (k-b)/m.
Вычитание дробей из целого числа
Еще одной из разновидностей действий с дробями является тот случай, когда дробь необходимо отнять от На первый взгляд подобный пример кажется трудно решаемым. Однако здесь все довольно просто. Для его решения необходимо перевести целое число в дробь, причем с таким знаменателем, который имеется в вычитаемой дроби. Далее производим вычитание, аналогичное вычитанию с одинаковыми знаменателями. На примере это выглядит так:
7 — 4/9 = (7 х 9)/9 — 4/9 = 53/9 — 4/9 = 49/9.
Приведенное в этой статье вычитание дробей (6 класс) является основой для решения более сложных примеров, которые рассматриваются в последующих классах. Знания этой темы используются впоследствии для решения функций, производных и так далее. Поэтому очень важно разобраться и понять действия с дробями, рассматриваемые выше.
Правила сложения дробей с разными знаменателями очень простые.
Рассмотрим правила сложения дробей с разными знаменателями по шагам:
1. Найти НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей. Полученный НОК будет общим знаменателем дробей;
2. Привести дроби к общему знаменателю;
3. Сложить дроби, приведенные к общему знаменателю.
На простом примере научимся применять правила сложения дробей с разными знаменателями.
Как следует переводить дробь?
Из смешанной дроби в обыкновенную:
- Необходимо умножить знаменатель дробной части на единицу целой части;
- К произведению, которое получилось, следует прибавить числитель дробной части;
- Сам знаменатель при этом оставить без изменений.
Из обыкновенной дроби в смешанную:
- Разделить числитель дроби на знаменатель;
- Полученный результат будет являться целой частью;
- То, что останется в результате деления (остаток) будет числителем.
Из десятичной дроби в обыкновенную или смешанную^
- Для этого действия необходимо целую часть умножать на знаменатель дробной части.
- После этого полученный результат сложить с числителем дробной части. То, что получилось в итоге, и будет числителем новой дроби, а сам знаменатель при этом останется без изменений.
Смешанные числа: определения, примеры
Смешанное число — это число, состоящее из натурального числа и обыкновенной дроби. Пишут в виде n
Где n — целая часть, — дробная часть.
Смешанное число равно сумме своей целой и дробной части. То есть
Примеры смешанных чисел
Каждое такое смешанное число содержит целую и дробную части.
Чтобы точно определять, какая именно перед вами дробь, запомните:
- Дробь виданазывается правильной дробью. В ней числитель всегда меньше знаменателя.
- Дробь виданазывается неправильной. В таких дробях числитель больше знаменателя или равен ему.
- Дробь виданазывается смешанной дробью/смешанным числом. Такая дробь состоит из целой части (натуральное число) и дробной части.
Смешанные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить. Давайте узнаем, как именно это делать.
Примеры для самопроверки
Теория — это, конечно, хорошо. Но без практики — никуда. Пора потренироваться в решении примеров и закрепить тему сравнения дробей.
Пример 1. Сравните дроби:
Ответ: по правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, больше та дробь, у которой числитель больше. Это значит, что
Пример 2. Сравните дроби:
Ответ: по правилу сравнения дробей с разными знаменателями и одинаковыми числителями, больше та дробь, чей знаменатель меньше. Это значит, что
Пример 3. Сравните дроби:
Как решаем:
Ответ:.
- По правилу сравнения дробей с разными числителями и знаменателями, сначала нужно привести дроби к общему знаменателю:
- Наименьшее общее кратное — 15:
15 : 15 = 1
15 : 5 = 3 - Умножаем первую дробь на дополнительный множитель 1:
- Умножаем вторую дробь на дополнительный множитель 3:
- Дроби приведены к общему знаменателю:
- Сравниваем числители получившихся дробей: 3
Пример 4. Найдите разность:
Как решаем:
- Смешанные дроби превращаем в неправильные:
- Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю.
- Наименьшее общее кратное — 42:
42 : 7 = 6
42 : 6 = 7 - Умножаем первую дробь на дополнительный множитель 6:
- Умножаем вторую дробь на дополнительный множитель 7:
- Дроби приведены к общему знаменателю.
- Если знаменатели одинаковые — больше та дробь, числитель которой больше.
Мы видим, что вычитаемое меньше уменьшаемого, значит можем найти разность:
Сложением принято именовать одно из арифметических действий, результатом которого выступает совершенно новое число.
Если вы имеете дроби с равными делителями, которые требуется сложить, то лучше всего сделать это так:
Для получения суммы двух дробей с одинаковыми знаменателями, следует просто сложить между собой делимые, а знаменатель оставить прежним.
Например:
Имеем дроби 3\5 и 4\5. Складываем числители 3 и 4, получаем дробь 7\5.
Если вы имеете дроби с разными знаменателями, которые необходимо сложить, то лучше всего сделать это так:
- Ищем наименьший общий знаменатель;
- Используем для осуществления задачи предыдущее правило.
Рассмотрим это немного подробнее. Сначала нужно найти меньшее общее кратное. Это поможет определить единый делитель.
Для этого можно перемножить делимое и делитель на один и тот же множитель. После этого действия делитель будет равен наименьшему общему кратному. После этого следует перейти к сложению.
Как сложить смешанные числа? Существует несколько вариантов решения такой задачи.
- Во-первых, можно сложить по отдельности целые и дробные части.
- Во-вторых, можно сначала перевести обычные дроби в неправильные. И только после этого начать складывать дроби.
- Иногда возникает необходимость привести дроби к общему знаменателю.
- После этого неправильную дробь можно снова перевести в смешанную.